高等数学总复习指导（1）

本学期高等数学课程的内容是一元函数微积分、级数和常微分方程，共8章内容。同学们学习时应抓住重点，围绕基本概念和基本方法进行训练和学习，下面逐章指出各章的重点，并结合重点给出相应的典型例题，希望能对大家的学习提供一定的帮助。

第一章 函数

本章重点：

1．函数概念及其性质

理解函数的概念，了解决定函数的要素是定义域和对应关系，能根据这两个要素判别两个函数是否相等。能熟练地求出函数的定义域和函数值。

了解函数的周期性、奇偶性、单调性、和有界性，特别是要会判断函数的奇偶性。

例1 求下列函数的定义域

（1）

（2）

解 （1）函数的定义域是

解得

即函数的定义域是 且 。

（2）分段函数的定义域是所有定义区间的并集，此分段函数的定义域是或，但的定义域是，故综合起来可知所求函数的定义域是。

例2 若函数，求。

解 已知，即

根据函数概念可知

，（即下划线的部分替换成）

，（即下划线的部分替换成）

＝，（即下划线的部分替换成0）

规范以上的做法就是：设，则

将代入中，即有

，

令，则有

令，则有

令，则有＝

例3 （1）下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？

A．

B．，

C．

D．

（2）下列函数中，哪个函数是奇函数？

A．

B．

C．

D．

解 （1）A,B,D中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，C中函数的定义域是，对应关系可化为

故这两个函数是相同的函数。

（2）由奇函数的定义验证A,C可知它们都不满足，

D满足，即它为偶函数

验证B

故此函数是奇函数。

2．基本初等函数

熟练掌握六类基本初等函数的定义域、性质和图形。这些内容在今后的学习过程中，要经常用到。

3．复合函数和初等函数的概念

了解复合函数、初等函数的概念，会分析复合函数的复合过程，能把一个复合函数分解成几个简单函数。这在学习第三章导数与微分内容时要用到。

例4 将函数分解成几个简单函数。

解 ，，，，。

第二章 极限与连续

本章重点：

1．极限的计算

了解极限的概念，知道左右极限的概念，知道函数在点处存在极限的充分必要条件是在处的左右极限存在且相等。

关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：

（1）极限的四则运算法则：运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在，且分母不

为0。当所求极限不满足条件时，常根据函数的具体情况进行分解因式（以消去零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换、或分子分母同时除以（分子分母同趋于无穷大时）等变形手段，以使函数满足四则运算法则的条件。

（2）两个重要极限：熟记，要注意这两个公式自变量的

变化趋势以及相应的函数表达式，同时要熟悉它们的变形形式：。

（3）利用无穷小的性质计算：无穷小量是指极限为0 的量，有限个无穷小量之和、积都

是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。

（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。

（5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。

例1 求下列极限

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

解 （1）分子、分母同除以，则

＝

＝＝

（2）首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算

＝

＝＝

＝＝

（3）由于时，有，，因此还是无穷小量，故

（4）＝＝

（5）＝＝

＝＝

（6）

＝

＝＝

＝

2．函数连续

理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义①在的一个邻域内有定义；②在处存在极限；③极限值等于在处的函数值，这三点缺一不可。若函数在至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断点。

了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。

知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最小值存在定理、零点定理、介值定理）。

例2 讨论函数

在处的连续性。

解 的定义域为

由于在点处的左右极限不相等，故极限不存在，因此函数在点间断。

（补充说明：由于，所以在点左连续，它的连续区间应为为，。）