高等数学总复习指导（2）

1． 导数的概念

导数定义：函数在点及其某个邻域内有定义，对应于自变量在的改变量Δ＝－，函数相应的改变量，如果当时，极限存在，则称此极限值为函数在点处的导数。

例1 若函数在点可导，则下列式子中（ ）是错误的。

A． B．

C． D．

解 选择A。根据定义可知A中式子

故A是错误的。

B中

C中设Δ＝－，则＝＋Δ，代入C式中，即为导数定义式。

D中设t＝Δ，则D式即为导数定义式。

了解导数的几何意义及物理意义，会求曲线的切线方程和法线方程。

例2 求曲线上与直线平行的切线方程，与直线垂直的法线方程。

解 直线的斜率为2，曲线的斜率，得

代入曲线方程得

故切线方程为

即

请同学们自己计算一下与直线垂直的法线方程。

（答案：）

2． 了解微分的概念：。了解可导、可微的概念，知道可导与可微是等价的，了解函数在处连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即在可导，则在必连续，反之不然。

3． 导数和微分的计算

（1）牢记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。

（2）熟练掌握复合函数求导法则：若均可导，则，并会推广到多个中间变量的情形。

（3）掌握隐含数的微分法，正确地求出隐含数的一阶导数。

（4）掌握用参数形式表示的函数的一阶导数求法。

（5）了解一阶微分形式的不变性：，不论x为中间变量还是自变量，总具有该形式。

（6）了解高阶导数的概念，会求初等函数的二阶导数。

例3 求下列函数的导数或微分

（1），求。

（2），求。

（3）由方程确定了y是x的函数，求（0）。

（4）求曲线在处的切线方程。

解 （1）

（2）＋

则＋

（3）方程两端对x求导，得

故

将x=0代入原方程中，得，

于是（0）＝。

（4）由，得

由于时

故所求切线方程为。

第三章 导数的应用

本章重点：

1．了解拉格朗日种植定理的条件和结论，会用其证明简单的不等式。知道罗尔定理和柯西的条件和结论。

2．掌握洛必塔法则，能用其求“”、“”型不定式的极限，以及较简单的“” 、“”型不定式的极限。

例1 求下列极限

（1） （2）

解 （1）＝

＝

（2）＝＝

3．掌握用一阶导数判别函数增减性的方法，会求函数的增减区间。

4．理解函数极值点与极值的概念，知道极值存在的必要条件，熟练掌握用一阶导数求函数极值的方法（极值点的充分条件）。知道极值点和驻点的区别与联系。

5．了解曲线凹凸的概念，掌握用二阶导数判断曲线凹凸的方法，会求曲线的拐点。

例2 求曲线的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点。

解

驻点为

单调增加区间是，单调减少区间是

极大值点是，极小值点是

凹区间是，凸区间是

拐点。

6．熟练掌握求解一些较简单的实际问题中的最大值和最小值的方法，以几何问题为主。

例3 在半径为R的半球内作一内接圆柱体，求其体积最大时的底面半径和高。

解 设圆柱体的底面半径为x，则其高为，于是圆柱体体积为

求导得

令，得驻点

根据实际意义知应舍去，故取。因时，；

时，，故是V的极大值点，从而也是V的最大值点。

故体积最大时，底面半径和高分别是和。