高等数学（1）学习辅导(一)

第一章 函数

⒈理解函数的概念；掌握函数中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。

两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。

⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。

若对任意，有，则称为偶函数，偶函数的图形关于轴对称。

若对任意，有，则称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。

掌握奇偶函数的判别方法。

掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。

⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

基本初等函数是指以下几种类型：

①常数函数：

②幂函数：

③指数函数：

④对数函数：

⑤三角函数：

⑥反三角函数：

⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。

如函数

可以分解，，，。分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。

⒌会列简单的应用问题的函数关系式。

例题选解

　　一、填空题

⒈设，则　　　　　。

解：设，则，得

故。

⒉函数的定义域是　　　　　。

解：对函数的第一项，要求且，即且；对函数的第二项，要求，即。取公共部分，得函数定义域为。

⒊函数的定义域为，则的定义域是　　　　　。

解：要使有意义，必须使，由此得定义域为。

⒋函数的定义域为 。

解：要使有意义，必须满足且，即成立，解不等式方程组，得出，故得出函数的定义域为。

⒌设，则函数的图形关于　　　　　对称。

解：的定义域为 ，且有

即是偶函数，故图形关于轴对称。

　　二、单项选择题

　　⒈下列各对函数中，（　）是相同的。

　　A.；　　　B.；

C.；　　D.

解：A中两函数的对应关系不同, ， B, D三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以A B, D都不是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确。

　　⒉设函数的定义域为，则函数的图形关于（　）对称。

A.y＝x；　　　　　B.x轴；　　　　　C.y轴；　　　　　D.坐标原点

解：设，则对任意有

即是奇函数，故图形关于原点对称。选项D正确。

3．设函数的定义域是全体实数，则函数是（　）．

　　A.单调减函数；　　　　　　　　　 B.有界函数；

C.偶函数；　　　　　　　　　　　 D.周期函数

解：A, B, D三个选项都不一定满足。

设，则对任意有

即是偶函数，故选项C正确。

⒋函数（ ）

A.是奇函数；　　　　　　　　　 B. 是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数；　　　　 D.是非奇非偶函数。

解：利用奇偶函数的定义进行验证。

所以B正确。

⒌若函数，则（ ）

A.；　　　　　　　　　 B. ；

C.；　　　 　 D. 。

解：因为

所以

则，故选项B正确。